Costa a Tennessee állambeli Knoxvilleben született, itt töltötte gyermek kora nagy részét. A vasárnapi iskolában ének leckéket vett és többszőr is előadott. Tizenéves korára szüleivel Los Angelesbe költöztek. Itt fejezte be a főiskolát és nyert egy díjat, egy Dél Kaliforniaia zenei versenyen. A fősikola után zenei tanulmányba kezdett 1948-1951 között, ezután több fellépése volt, köztük Dean martin és Jerry Lewis művészekkel együtt is énekelt.
1952-ben egy rendezvény során találkozott jövőbeni férjével és itt biztatták, hogy jelentkezzen a Disney stúdió legújabb animációs filmjének főszerepére, Aurora hercegnő hangjaként. A felvételek után pár órával walt Disney személyesen hívta vissza, hogy övé a szerep. 1958-ban Elisabeth Schwarkzopfot helyettesítette a Super Bowl koncerten, ennek a koncertnek a pozitív visszhangja miatt kapta meg első operett szerepét.
A következő években 44 db operett előadásban játszott, köztük fellépet a moszkvai Bolshoiban is. 1964-ben minden idők egyik legnagyobb kritikai elismerését szerezte meg a Metropolitan Operában előadott La Traviata műben Violetta karaktereként.
Costa több filmes szerepet is kapott többnyire a Tvben ahol ének tudásával szerepelt, de időnként az oscar gálán is fellépet. Jacqueline Kennedy személyesen kérte fel, hogy férje emlékkoncertjén énekeljen 1963-ban, de szintén fellépet a Kennedy Center megnyitóján 1971-ben. Utolsó élőfilmes szerepe 1972-ben volt az MGM álltal készített filmben Johann Strauss II életéről.
Costas utolsó éveit fiatal és tizenéves gyermekeknek szentelte, motivációs előadásokat tartott iskolában több helyen is, szintén tagja a Childhelp nonprofit társaságnak ahol a gyermek molesztálást megelőző programokat promotálja, ezen kívül a Disney stúdió Csipkerózsika filmjének reklámjában is részt vesz.
1989-ben operett múltjára tekintettel életműdíjat kapott, majd 1999-ben kézlenyomata A Disney Legend Plaza udvarának betonjába került. 2001-ben a Metropolitan Opera díjazta életműdíjjal. 2003-ban Bush elnök személyesen nevezte ki Nemzeti Művészeti Tanács élére, melyet egészen 2007-ig kitöltött. Ugyanebben az évben szülővárosának Operája a halhatatlanok csarnokába választotta.
